На Руси использовали аналог древнегреческой нумерации с использованием букв кириллицы или глаголицы. Вместе с тем, в отличие от многих народов, которые придали числовые значения новым буквам, на Руси за малым исключением продолжали использовать буквы греческого алфавита или похожие. Числа писались в том же порядке, что и произносились. Наибольшее распространение получила кириллическая нумерация.

Система записи чисел кириллицей, цифи́рь — способ алфавитной записи чисел с использованием кириллицы или глаголицы, использовавшийся на Руси с X века до начала XVIII века, когда была заменена на систему записи чисел, основанную на арабских цифрах.

«Учение им же ведати человеку числа всех лет» (1136 г.), т.е. «Наставление, как человеку познать счисление лет» — древнерусский трактат об исчислении времени, древнейшее сохранившееся русское сочинение по математике, хронологии и пасхалистике, написанное Кириком Новгородцем, монахом Антониева монастыря в Новгороде, в 1136 году. Памятник древнерусской литературы.

В разделах 21—27 трактата сказано о «дробных часах» — час делится на 5 «дробных часов», те на 5 «вторых дробных часов» и т. д., что, как считается, связано с описанием музыкальных интервалов. Кирик доходит до седьмых дробных часов, которых в дне или ночи 937 500, причем говорит, что от седьмых дробных уже ничего не получается.

XI веком датируются математические задачи из юридического сборника «Русская Правда» —  сборника правовых норм Киевской Руси, датированного различными годами, начиная с 1016 года, древнейший русский правовой кодекс. Это первый дошедший до нас математический документ Древней Руси, содержащий задачи о приплоде скота, количестве зерна и сена, собираемого с определённой площади.

Дальнейшее развитие науки было остановлено монголо-татарским нашествием. В конце XVI века появилась «Книга, рекома по гречески Арифметика, по-немецки Алгорисма, а по-русски — Цифирная счетная мудрость», которая, по мнению Карамзина, и была первой русской арифметикой

А теперь давайте подробнее поговорим о том, что из себя представляла кириллическая нумерация. Она представляет собой Алфави́тную за́пись чи́сел — систему, в которой буквам (всем или только некоторым) приписываются числовые значения, часто (но не всегда) следующие порядку букв в алфавите. Для записи числа составляются буквы, сумма значений которых выражает это число. Для очень больших чисел применяются своего рода диакритические знаки, показывающие, например, что перед нами — не единицы, а тысячи.

Так, для указания того, что знак является не буквой, а цифрой, сверху над ним ставился специальный знак "титло". На картинке над первой буквой алфавита стоит титло, для показания того, что этот символ представляет собой 1:

Вот, например, как записывались первые девять чисел:

Числа от 11 до 19 обозначались так:

Десятки обозначались так:

А сотни так:

Тысячи обозначались теми же буквами с «титлами», что и первые девять цифр, но у них слева снизу ставился специальный знак:

Десятки тысяч назывались «тьмы», их обозначали, обводя знаки единиц кружками, например, числа 10 000, 20 000, 50 000 соответственно записывались следующим образом:

Сотни тысяч назывались «легионами», их обозначали, обводя знаки единиц кружками из точек. Например, числа 100 000, 200 000 соответственно имели обозначение

Миллионы назывались «леодрами». Их обозначали, обводя знаки единиц кружками из лучей или запятых. Так, числа 10^6 и 2х10^6  обозначались соответственно

Десятки миллионов назывались «воронами», или «вранами», и их обозначали, обводя знаки единиц кружками из крестиков или ставя по обе стороны буквы букву К, например, числа 10^7, 2х10^7, обозначались соответственно

Сотни миллионов назывались «колодами». «Колода» имела специальное обозначение: над буквой и под буквой ставились квадратные скобки. Например, число 10^8 записывалось в виде

Остальные числа записывались буквами слева направо. При записи больших чисел, чем тысячи, в практической деятельности (счете, торговле и т.д.) часто вместо «кружков» знаки ставили перед буквами, обозначающими десятки и сотни.

В источниках часто встречается деление отдельных мер и денежных единиц на более мелкие части по системе двух и трёх. Для ясного понимания этого деления следует хорошо себе представить структуру древне-русских дробей.

Основные дроби системы:

• одна вторая - "половина"
• одна третья - "треть"
• одна четвертая - "четверть" или "четь"

Половина какого-либо количества обозначается словом «пол»:

• Одна шестая — «пол-трети».
• Одна восьмая — «пол-чети» или «пол-четверти».
• Одна двенадцатая — «иол-пол-трети».
• Одна шестнадцатая — «пол-пол-чети».
• Одна двадцать четвёртая — «пол-пол-пол-трети».
• Одна тридцать вторая — «пол-пол-пол-чети»

Так появляются понятия: пол-трети коробьи, пол-четверти зобницы, пол-деньги и т. д. Дальнейшее присоединение частицы «пол» даёт ещё более дробные части, делящиеся на два.

введение новой нумерации, обусловленное ростом связей со странами Западной Европы, явилось событием огромного культурного и научного значения. В 17 веке России новая нумерация употреблялась еще только узким кругом знатоков математики. Детей, вместе со славянской грамотой, обучали алфавитной нумерации, которая применялась почти во всех печатных книгах и в общежитии. К изучению арифметических рукописей приступали, уже владея алфавитной нумерацией. Об этом свидетельствует тот факт, что новые цифры поясняются в рукописях не только словами, но и надписанным сверху алфавитным знаком чисел.

Считается, что арабские цифры были введены в России после первого заграничного путешествия Петра I, когда он в 1698 году привёз из Лондона морских офицеров. Одним из офицеров был Фергарсон, который, как полагают, ввёл в России арабские цифры.

Но на самом деле они пришли в Россию задолго до Петра. Если не считать славянских книг, изданных за границей в 1611 и последующих годах, то датой появления новых цифр в собственно русской печати был 1638. (Псалтырь, изданная в месте Евю).

Затем эти цифры встречаются на многих чертежах и текстах к ним в "Учения и хитрости ратного строения пехотных людей" (1647) - русском воинском уставе, напечатанном в 1647 году в Москве по указу царя Алексея Михайловича. При этом в тексте использовалась славянская нумерация, а для вычислений — арабская.

Таблицы произведений до 100 на 100 в "Считании удобном, которым всякий человек купующий придающий зело удобно изыскати может число всякие вещи" (1682) даны еще в славянской нумерации. Второе издание этой книги, выпущенное в 1714 году в Петербурге, было напечатано гражданским шрифтом и арабскими цифрами.

В 1699 году в Амстердаме вышла книга «Краткое и полезное руковедение в аритметыку, или во обучение и познание всякого счёту в сочетании всяких вещей» — первый учебник арифметики на русском языке. Книга была составлена Ильёй Фёдоровичем Копиевичем (или Копиевским) по заказу архангельских купцов. Она не удовлетворила заказчиков и распространения не получила.

даже в 1702 г. половина тиража"Юрнала" об осаде Нотербурга была выпущена с алфавитными цифрами, между тем как другая половина - с новыми.

В России первый учебник арифметики Леонтия Магницкого был напечатан в 1703 году. В «Арифметике» Магницкого, вслед за остальной Европой, используется счёт по числу пальцев на руках: числа от 1 до 9 названы «перстами», нуль — «низачто», десятки — «составами», а остальные числа — «сочинениями»

В статье о нумерации читатель знакомился также с произношением чисел. Здесь приводились сведения о счете тьмами, легионами и леодрами, как в малом счете, так и в большом.

"Статия численая о всяких долях указ" начинается прямо с письменного обозначения дробей и с указания числителя и знаменателя. При выговаривании дробей интересны такие особенности: четвертая часть называлась четью, доли же со знаменателями от 5 до 11 выражались словами с окончаниями "ина". Доли со знаменателями, большими 10, выговаривались с помощью слова "жеребей", например, 5/13 - пять тринадцатых жеребьев.

Нумерация дробей была прямо заимствована из западных источников, как указывал сам автор рукописи: "буди ти ведомо, како ся пишут доли в цифирном счете, по немецким землям, в латине и во французской земле".

Числитель назывался верхним числом, а знаменатель исподним. Слагаемые назывались перечнями, их сумма – исподним большим перечнем, уменьшаемое – заёмным перечнем, вычитаемое – платёжным перечнем, разность – остатком, делимое – большим перечнем, делитель – деловым перечнем, частное – жеребейным перечнем, остаток – остаточной долей, а сомножители и их произведение специальных наименований не имели.

Надо иметь в виду также, что часто в древнерусских источниках дроби выражаются посредством сложения и вычитания.

• 11/24 = треть (1/3) и пол-пол-трети (+ 1/12) и пол-пол-пол-трети (+ 1/24).
• 29/96 = треть без пол-пол-пол-четверти (1/3 — 1/32).

Наконец, следует остановиться также на обозначении целых чисел с дробями. Для обозначения какого-то числа единиц без половины единицы употребляется выражение: пол-указанного неполного количества единиц.

• 2,1/2 = полтретьи (три без половины, 2 единицы и половина третьей единицы);
• 3,1/2 = полчетверты;
• 4,1/2 = полпяты;
• 5,1/2 = полшесты;
• 6,1/2 = полсемы;
• 7,1/2, = полосьмы;
• 8,1/2 = полдевяты;
• 10,1/2 = полдесяти

Целое число с дробью (больше половины) древнерусские источники выражают путём вычитания.

• 4,3/4 = 5 без четверти,
• 6,7/8 = 7 без пол-четверти.
• 9,11/12 = 10 без пол-пол-трети.

Для целых чисел с дробью (меньше половины) мы найдём такие выражения:

• два с третью (2,1/3),
• три с четвертью (З,1/4) и т. д.

Собственные примеры именования дробей:

В Русском централизованном государстве наметились тенденции к единообразию в области мер и веса. Если в период феодальной раздробленности можно было наблюдать различие в местных мерах, то в Русском централизованном государстве правительство стремится создать единые общегосударственные меры, обязательные к употреблению по всей стране.

Центральная власть настойчиво и последовательно боролась с пережитками феодальной раздробленности. Местное метрологическое разнообразие было одним из таких нетерпимых в централизованном государстве пережитков.

Необходимость введения единых мер и веса диктовалась и экономическими соображениями. С середины XVI в. прослеживаются предпосылки складывания всероссийского рынка. Торговые люди, разъезжая по разным городам государства со своими товарами, испытывали значительные неудобства от местного метрологического разнообразия. Устранение этих неудобств было очередной задачей государства, и правительство Ивана IV становится на путь введения единых мер и веса.

Иван Васильевич Грозный вступил на престол, когда ему шел семнадцатый год. Перед юным царем стояло множество проблем. Одной из важных задач было обеспечение постоянных финансовых поступлений в Государственную казну.

Увеличение налогов было необходимо для решения важных задач:

• Повышение боеспособности армии.
• Ведение стратегически важных военных компаний по расширению территории государства.
• Обеспечение увеличивавшегося бюрократического аппарата.
• Сооружение оборонных укреплений.
• Обустройство городов и строительство дорог.

Причины проведения налоговой реформы:

• Создание более эффективного администрирования налогообложения.
• Повышение собираемости налогов.
• Увеличение поступлений в Государственную казну.
• Унификация налоговой системы на всей территории страны.
• Предпосылкой проведения реформы были изменения в налогообложении, введенные еще при Иване III и активно использовавшиеся на протяжении нескольких десятилетий.

Налоговая реформа проводилась с начала 1550-х годов. Основные ее мероприятия:

• создание законодательной базы;
• введение унифицированной единицы налогообложения;
• описи территорий;
• совершенствование системы сбора налогов.
• Масштабные описания земель проводились во все время правления Ивана Грозного, вплоть до 1580-х годов. Целью переписей было охватить все окультуренные земли и обложить их налогами. В 1590-е годы описание земель продолжилось, но уже не имело такого повального характера.

Сохранилась грамота Ивана IV на Двину от 21 декабря 1550 г. об отправке двинским старостам, сотским и целовальникам новой медной меры. Текст грамоты позволяет установить, что была послана медная осьмина. С этой меры нужно было сделать деревянные спуски, т. е. копии, запятнать их, т.е. поставить печать, и пустить в употребление. Присланная медная мера должна была оставаться у старост для контроля. С присылкой новой все старые меры, не совпадающие с ней, изымались. За пользование старыми мерами назначался штраф.

В этом отношении любопытно свидетельство немца-опричника Генриха Штадена. Характеризуя Русское государство при Иване IV, Штаден говорит: «Нынешний великий князь достиг того, что по всей Русской земле, по всей его державе — одна вера, один вес, одна мера».

Указы из Москвы на места о введении единых мер, сопровождавшиеся присылкой образцов казенных мер, не устраняли полностью местного метрологического разнообразия. Время от времени московское правительство вновь рассылало образцы мер, общих для всего государства. Новые меры рассылались в определенные, если можно так выразиться, поворотные моменты политики Русского централизованного государства — и общей, и экономической.

Так, в 20-х годах XVII в., после возвращения из Польши митрополита Филарета Романова и избрания его патриархом, было проведено, по его непосредственному указанию,
«обновление земли письмом», т.е. составлено новое описание всей территории Русского государства с целью выяснения платежеспособности населения и получения нового основания для обложе­ния его налогами. В это же время рассылались на места и новые меры. В 1624 г. состоялось решение «во всех городах Московского государства учинити меры медные, ровно против нынешние московские меры, какова мера ныне на Москве сделана под гребло».

В силу этого решения на места были разосланы соответствующие грамоты. Сохранившаяся грамота но-воторжскому воеводе П.Г. Мусину от марта 1624 г. позволяет судить о том, что в качестве единой меры вновь рассылалась медная осьмина, снабженная же­лезным греблом.

Распоряжение о метрологическом единообразии содержится в Уложении царя Алексея Михайловича 1649 г.; оно касается мер длины. Уложение подтверждает в законодательном порядке ранее существовавший размер сажени, равной трем аршинам.

Общее распоряжение о введении единообразия в области всех видов мер включено и в Таможенный устав 1653 г.

Наконец, общее распоряжение о введении единых мер было отдано правительством Федора Алексеевича в 1679 г. Царствование Федора ознаменовалось крупной реформой в области прямого обложения. Мелкие четвертные доходы были упразднены и заменены едиными стрелецкими деньгами; также было принято решение и об упорядочении сбора стрелецкого хлеба. Изменять контрольные меры категорически воспрещалось под угрозой смертной казни. Одновременно с этим было отдано распоряжение и о пользовании единой мерой жидкости — заорленым ведром.

Таким образом, русское правительство с середины XVI в. и в течение всего XVII в. вело определенную метрологическую политику, политику единых мер для всей территории страны. Но местные меры оказались очень живучими, и в источниках XVII в., а порой даже и XVIII в. мы обнаруживаем метрологическое разнообразие.

При изучении мер поверхности исследователь неизбежно встречается с так называемым сошным письмом, т.е. с переписью населения и его земельных угодий с целью обложения налогами. Когда появилось сошное письмо, точно неизвестно. Некоторые ученые связывают происхождение сошного письма с теми переписями населения, которые производились монголами во время их владычества для выяснения количества налогоспособного населения. Более точные сведения о системе сошного письма имеются только для второй половины XVI и для XVII в.

В терминологии сошного письма следует различать два вида понятий: с одной стороны, наименования фискальных единиц, т. е. единиц обложения, с другой — названия земельных мер, на которых основываются фискальные единицы. Рассмотрим вначале земельные меры, а затем обратимся к сошному письму, основанному на этих мерах.

Археологами были найдены древнеславянские сошники, которые датируются VII-VIII веками. Термин «соха» впервые фиксируется в письменных источниках с XIII века. У слова есть два основных значения:

• Сельскохозяйственное пахотное орудие. Представляло собой деревянное приспособление с острыми наконечниками – сошниками. С их помощью срезался верхний пласт земли и на ней оставлялись борозды. Таким способом происходило рыхление почвы. В верхней части приспособления имелись две оглобли, которые в древности назывались «обжи». В них впрягали лошадей или других пахотных животных. Бедные крестьяне, не имеющие тягловой силы, могли сами впрягаться в соху. Сошники изготавливались из железа, остальные части сохи – из дерева.

• Единица измерения земли и податного налогообложения. Впервые письменное подтвержденное использование слова «соха» как единицы налога встречается со времен татаро-монгольского завоевания Киевской Руси. В XIII-XV веках ордынцы брали дань, рассчитывая ее с одной сохи. Под ней понималась площадь земли, которая могла быть вспахана в течение одного светового дня 2-3 лошадьми.

Наиболее крупной единицей измерения поверхности в Московском государстве XVI — XVII вв. являлась десятина. Она и в настоящее время очень употребительна. Слово "десятина" звучит знакомо для нас и имеет очевидную связь со словом "десять" или вернее с выражением "десятая часть".

Владиславлев в статье "Происхождение десятины, как земельной меры 1895" объясняет происхождение десятины следующим образом. В старину крестьяне брали землю у помещиков и нередко пользовались ею с таким условием, чтобы обработать в пользу владельца известную долю того участка, который они арендуют. Обыкновенно этой долей служила десятой часть - десятина. Предположим теперь, что земельный участок, необходимый для прокормления одной семьи, отличался постоянством, т. е. был приблизительно одинаков в разных местностях, тогда, значит, десятая доля его, десятина, получает довольно определенное значение и начинает играть роль земельной меры. Вот как объясняет это Владиславлев, приводя в доказательство писцовые книги, изданные Географическим обществом

Бобынин держится другой точки зрения. Возьмем, говорит он, такой квадрат, чтобы сторона его содержала десятую часть версты, т.е. 50 сажень, площадь этого квадрата будет иметь 2500 кв. саж.; остается теперь только допустить, что с течением времени эта площадь уменьшалась и обратилась в 2400 кв. саж., в таком случае ясно будет, чем была десятина: квадратной площадью со стороной, равной десятой части версты

Размеры казённой десятины официально установлены в 2400 квадратных саж. (80 саж. длины и 30 саж. ширины или, что реже — 60 саж. длины и 40 саж. ширины). В переводе на метрическую систему десятина равняется 1 гектару 925 кв. метрам.

В быту под именем десятины встречались также площади больших размеров: 3200 кв. саж. (80 х 40), 2500 кв. саж. (50 х 50), 3025 кв. саж. (55 х 55) и т. д. Десятина являлась единицей преимущественно счётной.

На практике для измерения площадей пользовались большей частью другой мерой—четвертью или четью. Чему, примерно она равна на наши меры, - трудно сказать: одни утверждают, что полдесятине, другие увеличивают ее размер до полутора десятин. Деления четверти простирались до мельчайших долей, так что в расчеты вводилась 1/3072 доля под именем "пол-пол-пол-пол-пол-пол-пол-пол-пол-пол-третник". Вероятно, под четвертью разумелось встарину такое количество земли, на которое приходилось всевать четверть меры земного зернового хлеба. подобно этому, осьмина земли соответствовала осьмине хлеба

Десятина делилась на две четверти (чети). Четверть (четь) в свою очередь складывалась из двух осьмин, осьмина — из двух полуосьмин, полуосьмина — из двух четвериков. Дальнейшее дробление четверика совершалось по такой же системе двух. Таким образом, четверик заключал в себе 2 пол-четверика, 4 пол-пол-четверика, 8 пол-полпол-четвериков и т. д. Путем аналогичного прибавления частицы «пол» обозначались меры в 1/ 6, 1/ 32 четверика и пр.
Единица, равная 1/64 четверти( = 1/8 четверика), называлась малым четвериком.

Помимо деления на осьмины (по двукратному принципу) четверть (на основе численного коэффициента — 3) распадалась на 3 третника, 6 пол-третников, 12 пол-пол-третников и т. д. Площадь размерами в 1/24 четверти (чети) именовалась малым третником.

Писцы, которым поручалось выяснение налогоспособности населения, прежде всего должны были произвести измерение земельных площадей отдельных владений данного уезда, выразив их в том или ином количестве четвертей с их подразделениями.

Второй этап писцового дела заключался в переводе установленного измерением числа четвертей в сохи или их части.

Соха, как уже указывалось, была единицей условной и непостоянной (переменной). Её размеры (в реальных поземельных единицах) зависели:

• от принадлежности соответствующей площади той или иной социальной категории владельцев;
• от качества облагаемых налогом земель.

По первому признаку различались земли:

• служилые, т. е. принадлежащие служилому сословию (вотчины и поместья);
• церковные, т. е. владения различных духовных корпораций (монастырей, епископских, митрополичьих, патриаршей кафедр);
• дворцовые, отведенные для личного царского хозяйства;
• чёрные, государственные, обрабатываемые особым разрядом черносошных крестьян, впоследствии называемых казёнными.

По своему качеству земли делились на три категории:

• добрые, т. е. плодородные, хорошие,
• середние
• худые, т. е. неудобные для обработки, плохие.

В пределах служилого (вотчинного и поместного) землевладения на соху полагалось 800 четвертей доброй земли, 1000 четвертей середней и 1200 четвертей худой. Церковные и дворцовые земли переводились в сохи по принципу 600 четвертей доброй земли, 700 середней, 800 худой и 900 «добре худой» — на соху. Наконец, в черносошных волостях соха складывалась из 500 четвертей доброй земли, 600 — середней и 700 — худой.

Другими словами, указанную цифру земельных единиц надо увеличить втрое. Если служилая соха заключает 800 четвертей доброй земли в поле, то в трёх полях, следовательно, будет 2400 четвертей. На основе всего вышеизложенного систему сошного письма можно представить в виде следующей таблицы:

Естественно, что с плодородных участков взимались большие залоги, чем с земель менее удобных для сельского хозяйства. Важнее другое: социальная принадлежность землевладельца являлась для органов власти критерием при обложении его налогами.

Действительно, ведь количество четвертей, приходящееся на соху, обратно пропорционально тяжести обложения. Чем больше в сохе четвертей, тем меньше она платит налогов.
В наиболее выгодном положении находились служилые люди (дворянство), как господствующий класс, в самом тяжёлом—-государственные крестьяне. Среднее место занимала церковь.

Далее следует ознакомиться с техникой так называемого «одабривания», применявшегося, как правило. в пределах служилого землевладения. Дело в том, что писец производя свои землеописательные работы в данном уезде, мог там столкнуться со служилыми землями разного качества: и добрыми, и середними, и худыми. Перевод их в сохи, как мы знаем, производился н;1 основе различного коэффициента. И вот писец предварительно, в целях удобства последующих арифметических выкладок, «одабривал» худые и середние земли.

техника одабривания целиком отвечает общей структуре сошного письма. Другими словами, при одабривании земли было необходимо производить прибавку (или как выражаются писцовые книги, «наддачу») в размере 25%, если дело шло о середних землях, и 50% для худых земель.

Сохи, подобно четвертям (мера поверхности), делились на части по системе двух и трёх. В писцовых книгах соответствующие доли сохи обозначались словами «пол»,«треть», «четверть», («четь»), упоминаемыми должное количество раз.

Каково реальное значение дробных частей сохи, т. е. чему они равняются в переводе на единицы измерения поверхности? На этот вопрос приходится ответить в том смысле, что доли сохи являются такими же переменными величинами, как и целая соха. Их понимание возможно только на основе учета тех основных моментов, из которых складывается система сошного письма: качества и социальной принадлежности земельной площади.
Так пол-четверти или чети (т. е. 1/8) сохи = 100 четвертям (четям) доброй служилой земли•= 125 четвертям середней служилой = 150 четвертям худой служилой = 75 четвертям церковной доброй земли, 100 четвертям церковной худой и т. д.

Соха— это условная единица обложения. Четверть — реальная единица измерения земельных площадей. Четверть (четь) = половине десятины. В сохе, в зависимости от качества земли и её принадлежности той или иной социальной категории владельцев, могло быть различное количество четвертей (четей). Итог сошного письма выражается частично в долях сохи и частично в четвертях (четях) пашни.

Надо все время помнить, что слово «четверть» употребляется в двойном значении. Если речь идёт о четвертях (четях) пашни, то имеются в виду реальные меры поверхности, если о четвертях (четях) сохи, то подразумеваются условные дробные фискальные единицы, в которых может быть разное количество реальных четвертей, как единиц измерения.

Когда писец говорит: четверть (четь) сохи и 5 четвертей (четей), пашни — это значит (при условии, если перед нами, скажем, служилая добрая земля), что земельная площадь = 200 четвертям ( 1/4 от сохи, т. е. 800 четвертей) + 5 четвертям = 205 четвертям. Выражение: «полчетверти (чети) сохи, а не дошло 7 четвертей пашни», — надо понимать (при аналогичных условиях) так, что до 100 четвертей (1/8 от 800 четвертей) не хватило 7 четвертей, следовательно, имеется 93 четверти.

В заключение необходимо взять какой-либо пример из писцовых книг и на нём продемонстрировать в целом метод научного анализа метрологических данных этого исторического источника. В качестве образчика приведём отрывок из описания XVI в. поместья П. И. Микулина в Вяземском уезде.

Соха размером в 800 четвертей земли именовалась большой московской сохой. Она сложилась на рубеже XVI и XVII вв. В более раннее время в различных областях встречались фискальные единицы того же наименования, но меньших размеров. Так в Новгородской области в XV—XVI вв. была в употреблении так называемая малая соха или сошка. Она приравнивалась трём обжам и заключала в себе примерно 15 десятин или 30 четвертей земли в поле (в среднем по 5 десятин или 10 четвертей на обжу).

Когда московское правительство после покорения Новгорода перенесло туда свои порядки, тогда новгородская сошка была признана равной трём московским сохам, т. е. в среднем 300 четвертям земли.

Таким образом, московская соха XV -XVI вв. была значительно меньше позднейшей большой сохи XVII в. Последняя на протяжении указанного столетия постепенно приобретала все более общее значение и правительство стремилось распространить её на все категории земель, сделав основной единицей обложения.

Наряду с сохой, в качестве окладной единицы, на чёрных землях, применялась выть. Она так же, как и соха, делилась, по системе двух и трёх, на две половины, три трети - выти, четыре четверти - выти, шесть пол-третей выти, восемь пол-четвертей выти и т. д. В выти в переводе на меры поверхности считалось 12 четвертей доброй земли в поле, или 14 четвертей середней, или, наконец, 16 четвертой худой.

Если мы имеем твёрдые данные о мерах измерения пашни, то единицы измерения сена оставались неизвестными в метрологической литературе. Площадь сенокосов вычислялась посредством количества собранного сена. Но размеры копны до последнего времени были не установлены. В частных сделках по купле—продаже величина копны устанавливалась на—глаз и оценивалась по взаимному соглашению.

Профессору Колесникову, однако, удалось найти новый документ из фонда Верхотурской приказной избы, который проливает свет на этот вопрос. Оказывается существовала твёрдая единица измерения сена, — так называемая «мерная сенная двоесаженная верёвка». Она применялась при продаже сена в больших количествах и по «уставной», т. е. твёрдой, фиксированной правительством цене. Последняя, как правило, была всегда ниже рыночной; вследствие чего обе стороны—и продавец и покупатель—оказывались заинтересованными в более точном вычислении размеров копны.

Действия в сошной арифметике проводились с помощью специального устройства - дощаного счета, речь о котором подробнее пойдет дальше. Строение дощаного счета было таким:

• Изначально устройство для дощаного счета состояло из двух соединенных между собой ящичков, каждый из которых разделялся перегородкой на два отделения. Наличие четырех отделений позволяло откладывать на доске не только условие решаемой задачи, но и необходимые промежуточное расчеты.
• В каждом отделение было натянуто по четырнадцать веревочек с нанизанными костяшками. Если проволоки предназначались для счета целых чисел, то на них нанизывалось по 9-10 костяшек; на других - меньшее количество.
• В одном из полей имелась проволока с 4 и 3 проволоки с 1 костью каждая. С их помощью велся счет четвертям, полчетвертям, пол-полчетвертям. Там, где имелась проволока с 3 костями, счет велся третями, полтретями и т.д.

В русской арифметической литературе XVII в. тоже описывался счет на "абаке", под именем счета "костьми" или "пенязи". Целью этого пособия было "великий счет считати". Наш абак отличался только одной особенностью, именно, он разлиновывался поперек на несколько частей, и в нем отводились специальные места для слагаемых и сумм. Счет "костьми" употреблялся, когда нужно было "класть костьми сошную кладь", т.е. более мелкие подати,

Кроме единиц, десятков и т. д. при счете костьми употреблялись доли, трети, полутрети, половино-полутрети, малые трети чети, т. е. четверти, получети, половину-получети, млые чеи. Для всех этих дробей были внизу доски особые места. Что счет костьми был происхождения иноземного, на это, между прочим, указывает и присутсвие пятков, полсотен и т. д., как в сван-пане и старинном римском абаке

Русский счет костьми описывается в древнерусском учебнике арифметики XVII века “Цифирная счетная мудрость”, хотя нет сомнения, что он существовал уже в XVI веке. Более того, есть мнение, описанное в книге Апокина И.А. «Развитие вычислительных машин», что счет костьми уходит своими корнями в глубокую древность.

Итак, на доске или столе проводили мелом несколько горизонтальных линий для единиц, десятков, сотен и т.д., следуя снизу вверх. На каждую линию клали до 4 костей. Если кость помещалась между линиями, то она означала 5 единиц разряда, который откладывается на более близкой к вычислителю линии. Вертикальные линии разделяли доску на несколько столбцов, в которые клали кости, соответствующие компонентам действий.

Далее в особых статьях излагаются 4 действия в такой последовательности: сложение, умножение, вычитание, деление. Правила выполнения каждого из них излагались очень подробно и сопровождались примерами и специальными пояснительными чертежами, из которых видно, что для разных действий требовались и разные таблицы.

Заметим, что через все списки арифметических рукописей проходит одна и та же редакция счета костьми, иллюстрирующаяся одними и теми же примерами, даже ошибки и неточности в ряде случаев повторяются. Древний счет костьми, в основе которого лежит старинная пятеричная система счисления, в Европе сохранялся значительно дольше, чем в России, где он был достаточно оперативно и рано заменен счетами, в основе устройства которых лежат десятичный принцип счисления и дощаный счет.

Многие функции дощаного счета, равно как и используемая терминология, были прямо заимствованы из счета костьми. Тем не менее, дощаный счет, явившийся прообразом русских счетов, сохранившихся как вычислительный инструмент до сих пор, можно считать оригинальным отечественным изобретением, имевшим многовековое употребление и оставившим значительный след в нашем языке, породив такие выражения, как “сбрасывать со счетов”, “сводить счеты”, “прикидывать”, “скостить” и др.

Основными источниками в исследовании М. А. Цайгера выступают сохранившиеся от XVII–XVIII вв. “Книги сошного письма”, а также упомянутые выше “Цифирные счетные мудрости“ и “Арифметики”. Подробное описание этого прибора содержится в «Счетной мудрости» 1691 года, в разделе «Статья учения о дощаном счете». Источники сохранились в качестве рукописных текстов, и каждый экземпляр уникален. Изложение сопровождается изменяющимися чертежами, которые представляют значительный интерес, в частности тем, что характеризуют процесс изменения конструкции русских счетов.

В тридцатые годы 17 века московское правительство, возглавляемое матерью будущего Ивана Грозного Еленой Глинской, провело денежную реформу, в результате чего были объединены московская и новгородская денежные системы. Появились новые монеты - копейка и московская деньга, а рубль стал делиться на сто единиц.

Видимо, именно тогда и возникла идея заменить линии "счета костьми" на натянутые веревки, навесив на них, по существу, все те же "кости".

Постепенно устройство для дощаного счета упрощается, и уже в первой половине XVII века наиболее распространено устройство с двумя счетными полями, в котором только нижние ряды, использующиеся для работы с дробями, делятся на четыре отделения, а полные ряды содержат по десять костяшек. Образец таких счет хранится в Государственном историческом музее в Москве и датируется серединой XVII века.

К концу XVII в. сошное письмо вышло из употребления, так как поземельный залог был заменен подворным, а затем подушным. Но счеты себя зарекомендовали и сохранились, изменив только форму. Осталось одно поле, и был упразднен ряд излишних проволок для действий с двоичными и двоично-третичными дробями. Впрочем, в связи с денежным счетом на деньги и полушки, а также на полтины четвертаки, достоинством в 50 и 25 копеек, сохранились два ряда по 4 кости в каждом.


Основной причиной отказа от второго счетного поля на счетах явилось распространение в России в 18 веке десятеричной позиционной системы (цифровой арифметики). Счеты стали утрачивать значение универсального счетного прибора, постепенно превращаясь во вспомогательный. При помощи новой системы письменно, на бумаге, оказалось гораздо удобнее выполнять математические выкладки, чем с использованием абака. Этот процесс сопровождался острой борьбой, как тогда считали, двух наук: математики на абаке и математики без абака - на бумаге. Эта борьба известна как противодействие абакистов и алгоритмиков.

Тогда они и приняли тот вид, в котором сохранились и поныне. В них осталось лишь одно счетное поле, на спицах которого размещалось либо 10, либо 4 косточки (спица с четырьмя четками - дань полушке, денежной единице в 1/4 копейки).

Стоит вспомнить счетный прибор генерал-майора русской армии Ф.М.Свободского, изобретенный им в 1828 году. Его детище состояло из нескольких обычных счетных полей, которые использовались для запоминания промежуточных результатов при арифметических действиях. Ф.М.Свободский разработал простые правила сведения арифметических действий к последовательности сложения и вычитания, что вместе с запоминанием нескольких простых вспомогательных таблиц (вроде таблицы умножения) заметно сокращало время вычислений.

Комиссии инженерного отделения ученого комитета Главного штаба и Академии наук одобрили способ Ф.М.Свободского и рекомендовали ввести его преподавание в российских университетах. И действительно, в течение нескольких лет такое преподавание велось в университетах Петербурга, Москвы и Харькова.

Новый вариант русских счетов, дошедших до наших дней, был предложен А. К. Больманом в 1860 году, когда им были изготовлены свои счеты с 9 косточками в полных рядах. На этих счетах можно было возводить в степень, извлекать корни, вычислять сложные проценты и выполнять четыре арифметических действия.

В 1872 году известный русский экономист, теоретик и практик бухгалтерского дела, организатор Общества счетоводов Ф.В. Езерский сконструировал счеты с машинкой для умножения и деления. Вдоль длинной планки рамы этих счетов помещены два валика, на которых навернуты таблицы. Вращая валики, можно было получать частные произведения, которые затем складывались на счетах.

Счетами занимался и известный русский математик академик В. Я. Буняковский, который, будучи еще молодым адъюнктом, входил в 1828 году в комиссию Академии наук, рассматривавшую счетный прибор Ф. М. Свободского. В 1867 году В. Я. Буняковский изобрел “самосчеты”; в основе этого приспособления для многократных сложений и вычитаний лежит принцип действия счетов. По устройству самосчеты совсем не похожи на русские счеты, только принцип действия их одинаков. Этот механический счетный прибор предназначен для многократных сложений и вычитаний.

Вычисления на приборе сводятся к последовательному сложению отдельно единиц, затем десятков, сотен и так далее всех слагаемых, полученные результаты фиксируются на маленьких счетах или дощечке. При вычитании в счетчике устанавливается уменьшаемое и последовательно производится вычитание также единиц, десятков и т.д. Один экземпляр самосчетов был изготовлен по указанию В.Я. Буняковского механиком Академии наук и 14 февраля 1867 года представлен на обсуждение физико-математическому отделению Академии. В наставлении об употреблении самосчетов подчеркивалось, что прибор довольно прост по конструкции, главное его назначение – «определение механическим путем итога большого числа слагаемых написанных подряд». Самосчеты использовались В.Я. Буняковским для вычисления средних месячных и годовых температур и высот барометра. Это был единственный прибор, облегчавший утомительные вычисления в метеорологии. Он оказал серьезное влияние на развитие отечественной изобретательской деятельности, в частности на работы П.Л. Чебышева в области счетной техники.

В 1882 году Николай Иванович Компанейский описал свои двойные счеты. Прибор состоит из счетов и валиков, причем оси валиков шли параллельно проволокам счетов и, кроме того, валики могли передвигаться относительно проволок. Это представляет удобство для правильного сдвига при сложении частных произведений. Устройство Компанейского объединило в себе совершенно оригинальную разновидность арифмографа с русскими счетами, в результате чего арифмограф превратился в арифмометр.

Простой и бесшумный в работе, арифмометр Компанейского, помимо стандартных четырех арифметических действий, позволял быстро вычислять проценты, оперировать с числами с десятичными знаками и простыми дробями, извлекать квадратные корни. Причем вычисления были безошибочны, чего не могли гарантировать другие арифмометры того времени. Срок его службы, как и у русских счетов, был практически неограничен. Механические повреждения быстро устранялись на месте, без обращения в мастерскую. Наконец, венцом достоинств прибора была его необычайная дешевизна. При умножении и делении больших чисел на счетах Ф.В. Езерского и Н.И. Компанейского скорость несколько больше, чем при производстве этих действий на бумаге.

Усовершенствование счетов продолжалось и в XX веке. А.Талалай в 1903 году издал вспомогательные таблицы, при помощи которых на счетах было удобно умножать.

В 1921 году сын Компанейского – Борис Николаевич Компанейский усовершенствовал прибор, дополнив его довольно удобными таблицами умножения соединив их с обыкновенными счетами. На этом приборе, кроме четырех арифметических действий, можно было решать задачи на проценты, оперировать с дробями и т.п. Относительно этого прибора техническое бюро Комитета по делам изобретений НТО ВСНХ вынесло 25 января 1921 г. следующее постановление: “Признавая пользу предложенного арифмометра всюду, где требуются точные расчеты, несомненно рекомендовать изобретение Б.Н. Компанейского... в качестве прибора, могущего с успехом заменить механические арифмометры существующих систем”

Предлагаем вам окунуться во времена XVI - XVII вв. и проследить за изготовлением дощаного счета, а также ознакомиться с примерами того, как можно его использовать

Ссылка на видео в облаке

В качестве чертежа я выбрал счеты, созданные в середине XVII в., образец которых хранится в Государственном историческом музее в Москве.

ссылка на сайт музея