Дроби древнего мира
"Дети же римлян учатся долго, с трудом, но чему же?
На сто частей научаются асcе разделять без ошибки..."
На сто частей научаются асcе разделять без ошибки..."
1
Древний Египет
- История появления и развития понятия «аликвотные дроби» (от лат. aliquot – несколько).
- Авторские примеры разложения обыкновенных дробей в виде суммы аликвотных дробей с разным числом слагаемых.
»
Аликвотные дроби (от латинского aliguot- " несколько'') были изобретены и впервые использованы в Древнем Египте. Аликвотная дробь-это дробь вида 1/n, где n-натуральное число. Первые упоминания об этих дробях можно встретить в древнеегипетских математических папирусах, написанных около 5000 лет назад.
Первой дробью, с которой познакомились египтяне, была половина. Следующей дробью была треть и так далее
Первой дробью, с которой познакомились египтяне, была половина. Следующей дробью была треть и так далее
Трудность изучения дробей в то время объяснялась тем, что учеников заставляли заучивать их без понимания, поэтому с Древних времен эта тема считалась одной из самых сложных, а когда человек попадал в трудное положение, говорили «Попал в дроби».
«
Обозначения дробей
у египтян
у египтян
Десятичная система счета в Древнем Египте основана на подсчете предметов с помощью пальцев на обеих руках. Числа от одного до девяти обозначались соответствующим количеством черточек, для десятков, сотен, тысяч и так далее использовали специальные знаки.
Египтяне не использовали нуль, потому что не подошли еще к его понятию как самостоятельной величины и как отсутствие количества в определенном разряде.
Египтяне не использовали нуль, потому что не подошли еще к его понятию как самостоятельной величины и как отсутствие количества в определенном разряде.
для обозначения единичной дроби в обычной записи египтяне ставили над числом иероглиф, который называли "ер" (или "ре", "рот")
К слову, Единственными дробями египтян, у которых в числителе не стояла 1, были дроби 2/3 и 3/4. Для них использовались свои иероглифы. также был специальный символ и для дроби 1/2.
Меры емкости сыпучих тел в Древнем Египте были основаны на иероглифе «Глаз Хора.»
Уаджет (Уджат, также око Гора или глаз Гора) — древнеегипетский символ, левый соколиный глаз бога Гора, который был выбит в его схватке с Сетом. Правый глаз Гора символизировал Солнце, а левый глаз — Луну, его повреждением объясняли фазы Луны. Око Гора олицетворяло разные аспекты божественного порядка в мироустройстве, такие как идея плодородия или власть фараона.
Уаджет (Уджат, также око Гора или глаз Гора) — древнеегипетский символ, левый соколиный глаз бога Гора, который был выбит в его схватке с Сетом. Правый глаз Гора символизировал Солнце, а левый глаз — Луну, его повреждением объясняли фазы Луны. Око Гора олицетворяло разные аспекты божественного порядка в мироустройстве, такие как идея плодородия или власть фараона.
Этот символ в Древнем Египте служил для обозначения дробей от 1/2 до 1/64 .
Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат (~4,785 литра), основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката.
»
Из истории аликвотных дробей
По современным данным египетская система счисления дробей появилась во времена Среднего царства Египта. Пятью самыми ранними математическими текстами, в которых присутствуют аликвотные дроби были Московский математический папирус, папирус Рейснера, папирус Кахуна и Деревянная табличка Ахмима. Математический папирус Ринда, написанный позже остальных, содержал в себе улучшенные способы записи аликвотных дробей.
Таблицы дробей, аналогичные тем, что были в папирусе Ринда, также встречаются и в некоторых других древних текстах.
Таблицы дробей, аналогичные тем, что были в папирусе Ринда, также встречаются и в некоторых других древних текстах.
Московский математический папирус, также называемый Математическим папирусом Голенищева в честь его первого неегипетского владельца представляет собой древнеегипетский математический папирус, содержащий несколько задач по арифметике, геометрии и алгебре. его формат был разделен советским востоковедом В. В. Струве в 1930 годуна 25 задач с решениями. Задачи в Московском папирусе не следуют определенному порядку, а их решения содержат гораздо меньше деталей, чем в Математическом папирусе Ахмеса .
Папирусы Рейснера относятся ко времени правления Сенусрета I, который был царем древнего Египта в 19 веке до нашей эры. В общей сложности четыре свитка папируса были найдены в деревянном гробу в гробнице. Несколько разделов содержат таблицы с математическим содержанием и аликвотными дробями
Математические папирусы Лахуна (также известные как математические папирусы Кахуна) - древнеегипетский математический текст. Они были обнаружены во время раскопок рабочего городка рядом с пирамидой фараона 12-й династии Сесостриса II. Папирусы Кахуна представляют собой сборник текстов, включая административные, медицинские и ветеринарные тексты, а также шесть фрагментов, посвященных математике.
Математические папирусы Лахуна (также известные как математические папирусы Кахуна) - древнеегипетский математический текст. Они были обнаружены во время раскопок рабочего городка рядом с пирамидой фараона 12-й династии Сесостриса II. Папирусы Кахуна представляют собой сборник текстов, включая административные, медицинские и ветеринарные тексты, а также шесть фрагментов, посвященных математике.
Деревянные таблички Ахмим, также известные как каирские деревянные таблички представляют собой две деревянные письменные таблички из Древнего Египта, на которых решались арифметические задачи. Каждая размером примерно 18 на 10 дюймов (460 × 250 мм) и покрыта штукатуркой. Таблички исписаны с обеих сторон
В первой половине таблички подробно описаны пять умножений хеката. Ответы были записаны в двоичных коэффициентах Глаза Гора и точных остатках египетских дробей, масштабированных до коэффициента 1/320, названного рo.
Математический папирус Ахмеса (также известен как папирус Ринда или папирус Райнда) — древнеегипетское учебник периода XII династии Среднего царства, переписанный писцом по имени Ахмес .
Папирус Ахмеса был обнаружен в 1858 году в Фивах и часто называется папирусом Ринда (Райнда) по имени его первого владельца.
В первой половине таблички подробно описаны пять умножений хеката. Ответы были записаны в двоичных коэффициентах Глаза Гора и точных остатках египетских дробей, масштабированных до коэффициента 1/320, названного рo.
Математический папирус Ахмеса (также известен как папирус Ринда или папирус Райнда) — древнеегипетское учебник периода XII династии Среднего царства, переписанный писцом по имени Ахмес .
Папирус Ахмеса был обнаружен в 1858 году в Фивах и часто называется папирусом Ринда (Райнда) по имени его первого владельца.
В этом папирусе находятся 84 задачи с их решениями, но самое важное то, что в нем найдена специальная таблица, содержащая разложение некоторых дробей в виде суммы аликвотных дробей.
Также в папирусе Ахмеса есть интересная задача: «Как разделить 7 хлебов между 8 людьми?». На первый взгляд, кажется, что чтобы разрезать каждый хлеб на 8 частей, придётся сделать 49 разрезов, но в папирусе приводится метод с 17 разрезами, которые получились с помощью аликвотных дробей.
В древнем Египте эту задачу решали так: 7/8= ½+1/4+1/8. Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. Получается, что нужно 4 хлеба разрезать пополам, 2 хлеба на 4 части и один хлеб на 8 частей. Такой метод дает всего 17 разрезов, что в 3 раза меньше, чем 49.
Также в папирусе Ахмеса есть интересная задача: «Как разделить 7 хлебов между 8 людьми?». На первый взгляд, кажется, что чтобы разрезать каждый хлеб на 8 частей, придётся сделать 49 разрезов, но в папирусе приводится метод с 17 разрезами, которые получились с помощью аликвотных дробей.
В древнем Египте эту задачу решали так: 7/8= ½+1/4+1/8. Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. Получается, что нужно 4 хлеба разрезать пополам, 2 хлеба на 4 части и один хлеб на 8 частей. Такой метод дает всего 17 разрезов, что в 3 раза меньше, чем 49.
Аликвотные дроби продолжали использоваться вплоть до средних веков, хотя многие математики видели в них недостатки
Так, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой.
Также важную работу по исследованию египетских дробей проводил в 13 веке математик Фибоначчи в своём труде «Книга абака».
Книга абака (лат. Liber abaci) — главный труд Фибоначчи, посвящённый изложению и пропаганде десятичной арифметики. Труд оказал огромное влияние на распространение математических знаний в Европе, служил учебником, справочником и источником вдохновения европейских учёных. в этой книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в аликвотные.
Также важную работу по исследованию египетских дробей проводил в 13 веке математик Фибоначчи в своём труде «Книга абака».
Книга абака (лат. Liber abaci) — главный труд Фибоначчи, посвящённый изложению и пропаганде десятичной арифметики. Труд оказал огромное влияние на распространение математических знаний в Европе, служил учебником, справочником и источником вдохновения европейских учёных. в этой книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в аликвотные.
В наши дни аликвотные дроби занимают умы многих современных математиков, и кроме того ставят ряд трудных и по сей день нерешённых математических проблем, среди которых Гипотеза Эрдёша — Грэма, доказанная Эрнестом Крутом в 2003 году, Гипотеза Эрдёша — Штрауса и и гипотеза Анджею Шинцелю.
«
Примеры разложения
М. Я. Выгодский в книге "Арифметика и алгебра в древнем мире" писал: "каноническим выражением дроби служило у египтян представление ее в виде совокупности (различных между собой) основных дробей, каковыми являлись (в окончательной стадии развития) аликвотные дроби и дробь 2/3"
Разложение дроби, в числителе которой стоит 1
В общем виде эта формула выглядит так:
В общем виде эта формула выглядит так:
1) Умножить числитель и знаменатель этой дроби на сумму двух взаимно простых делителей знаменателя
2) Далее необходимо заменить данную дробь на сумму двух других дробей. Знаменатели этих дробей должны быть равны знаменателю полученной дроби, а числители - слагаемым ранее упомянутой суммы
3) В случае если знаменатель - простое число, нужно умножить числитель и знаменатель на число, которое больше знаменателя на 1.
2) Далее необходимо заменить данную дробь на сумму двух других дробей. Знаменатели этих дробей должны быть равны знаменателю полученной дроби, а числители - слагаемым ранее упомянутой суммы
3) В случае если знаменатель - простое число, нужно умножить числитель и знаменатель на число, которое больше знаменателя на 1.
Разложение дроби, в числители которой стоит число, отличное от 1
Этот случай уже интереснее и сложнее. При разложении итоговое количество аликвотных дробей здесь обычно не менее 3-ех. Чтобы разложить дробь нужно:
1) Умножить числитель и знаменатель на такое число, чтобы в итоге полученный числитель был минимально больше знаменателя изначальной дроби
2) Полученную дробь нужно представить как сумму двух других дробей, одна из которых при сокращении даст нам аликвотную дробь
3) Далее данный алгоритм нужно проделать еще раз со второй полученной дробью. Повторив данную последовательность несколько раз у нас получится необходимая сумма аликвотных дробей
Этот случай уже интереснее и сложнее. При разложении итоговое количество аликвотных дробей здесь обычно не менее 3-ех. Чтобы разложить дробь нужно:
1) Умножить числитель и знаменатель на такое число, чтобы в итоге полученный числитель был минимально больше знаменателя изначальной дроби
2) Полученную дробь нужно представить как сумму двух других дробей, одна из которых при сокращении даст нам аликвотную дробь
3) Далее данный алгоритм нужно проделать еще раз со второй полученной дробью. Повторив данную последовательность несколько раз у нас получится необходимая сумма аликвотных дробей
Разложение дроби, в числителе которой составное число
В данной ситуации предыдущий метод можно упростить:
1) Для этого операцию замены данной дроби суммой аликвотных дробей нужно заменить, представив числитель как сумму делителей знаменателя и минимального возможного остатка
В данной ситуации предыдущий метод можно упростить:
1) Для этого операцию замены данной дроби суммой аликвотных дробей нужно заменить, представив числитель как сумму делителей знаменателя и минимального возможного остатка
Разложение Фибоначчи (Жадное египетское разложение, разложение Сильвестра)
Это первый, дошедший до нас метод разложения дроби на аликвотные дроби.В общем виде эта формула выглядит так:
Это первый, дошедший до нас метод разложения дроби на аликвотные дроби.В общем виде эта формула выглядит так:
Чтобы разложить дробь по методу Фибоначчи нужно:
1) представить данную дробь в виде двух дробей
2) первая дробь представляет собой дробь с числителем один и знаменателем, в котором записано округленное в большую сторону частное от деления знаменателя на числитель исходной дроби.
3) вторая дробь представляет собой дробь, в числителе которой положительный остаток от деления знаменателя на числитель исходной дроби, а в знаменателе произведение знаменателя исходной дроби на округленное частное, упомянутое в предыдущем пункте
4) при необходимости повторить алгоритм
1) представить данную дробь в виде двух дробей
2) первая дробь представляет собой дробь с числителем один и знаменателем, в котором записано округленное в большую сторону частное от деления знаменателя на числитель исходной дроби.
3) вторая дробь представляет собой дробь, в числителе которой положительный остаток от деления знаменателя на числитель исходной дроби, а в знаменателе произведение знаменателя исходной дроби на округленное частное, упомянутое в предыдущем пункте
4) при необходимости повторить алгоритм
Нечетное жадное разложение
Этот метод может упростить обычное жадное разложение, однако стоит знать, что оно не подходит для дробей с четным знаменателем, так как появляется бесконечное разложение. Чтобы разложить дробь по этому методу нужно:
1) возвести исходную дробь в степень (-1) (то есть перевернуть), а затем выделить целую часть
2) Определить следующее нечетное число, которое стоит после выделенной целой части.
3) Представить данную дробь в виде суммы двух дробей. Первая дробь это аликвотная дробь с полученным ранее знаменателем.
4) повторить при необходимости алгоритм
Этот метод может упростить обычное жадное разложение, однако стоит знать, что оно не подходит для дробей с четным знаменателем, так как появляется бесконечное разложение. Чтобы разложить дробь по этому методу нужно:
1) возвести исходную дробь в степень (-1) (то есть перевернуть), а затем выделить целую часть
2) Определить следующее нечетное число, которое стоит после выделенной целой части.
3) Представить данную дробь в виде суммы двух дробей. Первая дробь это аликвотная дробь с полученным ранее знаменателем.
4) повторить при необходимости алгоритм
Нужно понимать, что этот алгоритм будет сложнее математически, так как при представлении дробей в виде суммы двух других, значение второй дроби придется вычислять самостоятельно
»
2
Древний Вавилон
- Гипотезы о возникновении шестидесятеричной системы счисления. наиболее вероятная гипотеза.
- Назначение клинописных таблиц, не содержащих словесных пояснений.
«
Вавилонскую систему – можно охарактеризовать, как позиционное счисление по основанию шестьдесят.
для написания знака используются клинышки – одни из них направлены влево, а другие вниз. Именно поэтому этот алфавит называется клинописью. Клинышки, которые смотрят влево — отображают десятки, а те, что вниз – единицы.
Так древние Вавилоняне использовали 60 различных знаков:
для написания знака используются клинышки – одни из них направлены влево, а другие вниз. Именно поэтому этот алфавит называется клинописью. Клинышки, которые смотрят влево — отображают десятки, а те, что вниз – единицы.
Так древние Вавилоняне использовали 60 различных знаков:
Древнегреческие и средневековые математики, среди которых был Коперник, для обозначения дробных частей пользовались вавилонской 60-ричной системой. Благодаря этому, мы делим час на 60 минут и минуты на 60 секунд.
»
Гипотезы о возникновении шестидесятеричной системы счисления
Загадка возникновения этой системы привлекает умы математиков уже 2000 тысячи лет. Это привело к созданию нескольких гипотез, каждая из которых освещает одну из сторон проблемы. Некоторые из них критиковались сразу же после выхода, но это не значит, что все гипотезы неверны.
По мнению советского математика М. Я. Выгодского самые правдоподобные предположения это гипотезы Тюро-Данжена, Нейгебауера и И. Н. Веселовского. Подробные размышления о них можно увидеть в его книге "Арифметика и алгебра в древнем мире"
По мнению советского математика М. Я. Выгодского самые правдоподобные предположения это гипотезы Тюро-Данжена, Нейгебауера и И. Н. Веселовского. Подробные размышления о них можно увидеть в его книге "Арифметика и алгебра в древнем мире"
По мнению Теона Александрийского (4-5 век н. э.) вавилоняне выбрали число 60, потому что оно обладает интересными арифметическими свойствами: у него множество различных делителей в сравнении с другими не очень большими числами (описано в труде [Theon d`Alexandrie], Commentaire de Theon d`Alexandrie sur le premier livre de la Composition mathematique de Ptolemee, ed. Halma, Paris,1813, p 9. Фрагмент на изображении)
Тюро-Данжен (1932) предположил, что вавилонская нумерация имела смешанный десятично-шестеричный характер, то есть единицей второго разряда служила десятка, а единица третьего разряда образовалась из шести единиц второго разряда. Из этого можно понять, что число 60 заменяло вавилонянам число 100, структура которого вавилонянам нравилась меньше (описано в труде F.Thureau-Dangin, Esquisse d`une histoire du systeme sexagesimal, Paris, 1932, p.11)
По гипотезе Нейгебауера (1927) шестидесятеричное исчисление возникло сразу после завоевания древнего Междуречья государством Аккад. Тогда появилось два денежных номинала, один из которых назывался шекелем, а другой – мина. причём было установлено их соотношение: 1 мина равнялась 60 шекелям. Так, по мнению автора теории, это соотношение между валютами стало обыденностью и вошло в употребление вавилонян
И. Н. Веселовский (1959) в своей теории опровергает предположение
Нейгебауера В качестве довода он приводит, что Аккадское завоевание проходило намного раньше, а именно в четвертом тысячелетии до н.э. В результате он выдвинул свою гипотезу, в которой говорится о том, что шестидесятеричное числовое отображение было построено на пальцевом методе счета.
эта версия получала множество критики. Ее пытались опровергнуть тем, что в то время нумерацию можно было охарактеризовать как десятичную (на изображении ван дер Варден Б.Л. - Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции / Перев. с голланд. И.Н.Веселовского)
Нейгебауера В качестве довода он приводит, что Аккадское завоевание проходило намного раньше, а именно в четвертом тысячелетии до н.э. В результате он выдвинул свою гипотезу, в которой говорится о том, что шестидесятеричное числовое отображение было построено на пальцевом методе счета.
эта версия получала множество критики. Ее пытались опровергнуть тем, что в то время нумерацию можно было охарактеризовать как десятичную (на изображении ван дер Варден Б.Л. - Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции / Перев. с голланд. И.Н.Веселовского)
По теории астронома Кантора в Вавилоне с давних времен при составлении календарей большое значение придавали самой крупной из планет - Юпитеру, который примерно за 12 лет делает оборот вокруг Солнца. Не менее важен был Сатурн, который совершает полный оборот примерно за 30 лет. Таким образом, приняв 60 лет в качестве главного цикла Солнечной системы, составителям удалось идеально согласовать циклы Юпитера и Сатурна.
Однако, эта теория является очень сомнительной, потому что должна предполагать наличие у шумер выдающихся знаний астрономии, совершенной календарной системы и письменной документации длинных циклов планет. Из-за этого Кантор впоследствии отказался от своей гипотезы и принял гипотезу Г.Кевича.
Кевич (1904) предполагает, что шестидесятеричная система возникла из смешения двух систем, существовавших прежде независимо: десятеричной и шестеричной. Одна из них, по мнению Кевича, должна быть система исчисления шумеров, другая - аккадян. Данное предположение мало обосновано фактами, а также не дает ответ на вопрос о том, какой их этих народов первый начал использовать шестеричную систему. (Описано в труде G. Kewitsch, Zweifel an der astronomischen und geometrischen Grudlage des 60-Systeme, Zeitschrift furAssyrologie, т. XVII, 1904, p. 73 - 95)
Однако, эта теория является очень сомнительной, потому что должна предполагать наличие у шумер выдающихся знаний астрономии, совершенной календарной системы и письменной документации длинных циклов планет. Из-за этого Кантор впоследствии отказался от своей гипотезы и принял гипотезу Г.Кевича.
Кевич (1904) предполагает, что шестидесятеричная система возникла из смешения двух систем, существовавших прежде независимо: десятеричной и шестеричной. Одна из них, по мнению Кевича, должна быть система исчисления шумеров, другая - аккадян. Данное предположение мало обосновано фактами, а также не дает ответ на вопрос о том, какой их этих народов первый начал использовать шестеричную систему. (Описано в труде G. Kewitsch, Zweifel an der astronomischen und geometrischen Grudlage des 60-Systeme, Zeitschrift furAssyrologie, т. XVII, 1904, p. 73 - 95)
Даже сейчас историки не знают точно, в результате чего появилась нумерация. Из гипотез математиков становится ясно, что 60-теричная система возникла на основе какой-то ранее существовавшей системы счисления.
Стоит отметить, что приведённые гипотезы не объясняют, откуда возник позиционный принцип вавилонской нумерации.
Стоит отметить, что приведённые гипотезы не объясняют, откуда возник позиционный принцип вавилонской нумерации.
«
Какая гипотеза наиболее правдоподобная
Мне кажется, что гипотеза Кантора не лишена смысла. Возникновение шестидесятеричной системы счисления могло быть действительно связано с базовыми наблюдениями неба, но не со сложными наблюдениями Сатурна и Юпитера. Вавилонские жрецы хорошо знали, что год содержит 360 дней и 12 лунных месяцев. Знали они и то, что Солнце свой видимый с Земли путь совершает по окружности. Отсюда понятно деление видимой солнечной орбиты на 360 частей, а полного оборота — на 360 градусов. Возможно, отсюда происходят и 12 зодиакальных созвездий.
Также, в государствах, расположенных недалеко от экватора, в том числе и в Вавилоне, отношение продолжительности дня и ночи меняется не очень сильно. Отсюда естественным является деление суток на 12 дневных и 12 ночных часов. Таким образом длительность суток оказалась равной 24 часам. Наблюдая за всеми этими закономерностями, Вавилоняне, возможно, и начали использовать шестидесятеричную систему.
Частично в поддержку теории Кевича говорит доклад Жор Ифра «Всеобщая история чисел», в котором говорилось о том, что вавилонская система счисления получилась в результате слияния двух более древних форматов отображения чисел — пятеричного и двенадцатеричного. Это подтверждают и находки археологов, которые показывают, что в то время на самом деле использовались эти способы представления чисел. Однако, теория Кевича рушится доводами И. Н. Веселовского.
Также, в государствах, расположенных недалеко от экватора, в том числе и в Вавилоне, отношение продолжительности дня и ночи меняется не очень сильно. Отсюда естественным является деление суток на 12 дневных и 12 ночных часов. Таким образом длительность суток оказалась равной 24 часам. Наблюдая за всеми этими закономерностями, Вавилоняне, возможно, и начали использовать шестидесятеричную систему.
Частично в поддержку теории Кевича говорит доклад Жор Ифра «Всеобщая история чисел», в котором говорилось о том, что вавилонская система счисления получилась в результате слияния двух более древних форматов отображения чисел — пятеричного и двенадцатеричного. Это подтверждают и находки археологов, которые показывают, что в то время на самом деле использовались эти способы представления чисел. Однако, теория Кевича рушится доводами И. Н. Веселовского.
обратимся к книге Н.В. Козыревой "Очерки по истории Южной Месопотамии эпохи ранней древности": "Шумер впервые предстает перед нами во второй половине 4-го тысячелетия как союз городов-государств, объединенных единой идеологией и определенной хозяйственной общностью. Каждый отдельный город-государство представлял собой в свою очередь достаточно сложную структуру, состоявшую из больших и малых самоснабжающихся хозяйств, в центре каждого из которых находился храм. В рамках этих храмовых хозяйств были заключены все территориальные, материальные и людские ресурсы данного города. Такая хозяйственная система была неразрывно связана с религиозными представлениями шумеров. Границы каждого города-государства считались установленными и санкционированными богами, и поэтому любая попытка территориальной экспансии была, по существу, нарушением божественной воли и вследствие этого была достаточно затруднительна. В рамках такой идеологии теоретически немыслимой была бы идея унификации, создания единого территориального государства с централизованным управлением."
Опираясь на высказывание Н.В. Козыревой, я могу заключить, что шестидесятеричная система не могла возникнуть вследствие изменения системы торговли или введением налогов в рамках централизованного государства, то есть гипотеза Нейгебауера нам не подходит
Опираясь на высказывание Н.В. Козыревой, я могу заключить, что шестидесятеричная система не могла возникнуть вследствие изменения системы торговли или введением налогов в рамках централизованного государства, то есть гипотеза Нейгебауера нам не подходит
За предположения Тюро-Данжена и Теона Александрийского говорят следующие доводы. Наличие пресной воды и возможностей для развития интенсивного земледелия способствовали появлению оседлого населения в Древнем Междуречье. Первые переселенцы были из Африки и они принесли с собой африканскую культуру вместе с двадцатеричной системой счисления. Я заметил, что число 20 не подходит для деления на 3, которое является очень распространенным. Чтобы избежать появления дробей можно увеличить основание системы на 3, тем самым создавая основание 60. Это основание по теории Теона Александрийского на практике и доказывает свою полезность, так как оно имеет максимальное количество делителей среди натуральных чисел: 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60. Кроме того у шумер с развитием их цивилизации, скорее всего возникла необходимость записи всё больших чисел, которые в двадцатеричной системе потребовали бы громоздких выражений, а в системе с основанием 60 занимали бы гораздо меньше места
Знакомясь с монографией А.П. Стахова «Введение в алгоритмическую теорию измерений», я нашел такие размышления: «Существуют две концепции происхождения систем счисления: счетная и метрологическая. Концепция «пальцевого счета» достаточно убедительно объясняет происхождение десятичной, пятеричной, двадцатеричной систем счисления, однако сталкивается с большими трудностями при объяснении происхождения систем счисления с «непальцевыми» основаниями, в частности, вавилонской шестидесятеричной системы счисления". Это замечание известного математика делает гипотезу И. Н. Веселовского менее состоятельной.
Знакомясь с монографией А.П. Стахова «Введение в алгоритмическую теорию измерений», я нашел такие размышления: «Существуют две концепции происхождения систем счисления: счетная и метрологическая. Концепция «пальцевого счета» достаточно убедительно объясняет происхождение десятичной, пятеричной, двадцатеричной систем счисления, однако сталкивается с большими трудностями при объяснении происхождения систем счисления с «непальцевыми» основаниями, в частности, вавилонской шестидесятеричной системы счисления". Это замечание известного математика делает гипотезу И. Н. Веселовского менее состоятельной.
Таким образом, лично я считаю, что гипотезы Тюро-Данжена и Теона Александрийского являются наиболее правдоподобными. Опираясь на них, можно заключить, что шестидесятеричная система счисления возникла с развитием математики в Вавилонской цивилизации, которая требовала более понятных и простых действий с числами. Также я могу отметить предположения астронома Кантора, который связывал происхождение системы с наблюдением неба и окружающих явлений.
»
Назначение клинописных таблиц, не содержащих словесных пояснений
Из более 500 тыс. глиняных табличек, найденных археологами при раскопках в Древней Месопотамии и датируемых от 2000 г. до н.э. и до 300 г. н.э., около 400 содержат математические сведения.
В Вавилоне изучали арифметику, алгебру, геометрию и даже тригонометрию. Учили этому в писцовых школах, и каждый выпускник обладал довольно серьёзным для того времени объёмом знаний.
В Вавилоне изучали арифметику, алгебру, геометрию и даже тригонометрию. Учили этому в писцовых школах, и каждый выпускник обладал довольно серьёзным для того времени объёмом знаний.
Именно об этом говорит Ашшурбанипал, царь Ассирии в 7 в. до н.э., в одной из своих надписей, сообщая, что научился находить «сложные обратные дроби и умножать».
Арифметика и нехитрая алгебра нужны были в ведении хозяйства, религиозных праздниках, при обмене денег, вычислении процентов, налогов и долей урожая, в строительстве, инженерных работах, а справочные математические таблицы сильно облегчали вычисления.
Вавилонские математики решали планиметрические задачи, используя свойства прямоугольных треугольников, то есть теорема Пифагора была известна и вавилонянам.
на фото самая знаменитая из математических табличек Старовавилонского периода, хранящаяся в библиотеке Колумбийского университета (США). Содержит перечень прямоугольных треугольников с рациональными сторонами, то есть троек пифагоровых чисел x2 + y2 = z2. 1900 — 1600 гг. до н.э.
Кроме таблиц умножения и таблиц обратных величин, с помощью которых производилось деление, существовали таблицы квадратных корней и кубических чисел.
Клинописные тексты, посвящённые решению алгебраических задач, свидетельствуют о том, что вавилонские математики умели решать задачи с десятью неизвестными, а также отдельные разновидности кубических уравнений и уравнений четвёртой степени.
Многие сохранившиеся клинописные материалы представляли собой учебные пособия для вавилонских школьников, в которых приводились решения задач, часто встречавшихся в обычной жизни.
Клинописные тексты, посвящённые решению алгебраических задач, свидетельствуют о том, что вавилонские математики умели решать задачи с десятью неизвестными, а также отдельные разновидности кубических уравнений и уравнений четвёртой степени.
Многие сохранившиеся клинописные материалы представляли собой учебные пособия для вавилонских школьников, в которых приводились решения задач, часто встречавшихся в обычной жизни.
на фото Геометрические задачи с рисунками трапеций и треугольников и решением теоремы Пифагора. Размеры таблички: 21,0x8,2. 19 в. до н.э. Британский музей
Вавилонские математики прекрасно знали о важнейших иррациональных числах.
Так, важным достижением математики было открытие того, что отношение диагонали и стороны квадрата не может быть выражено целым числом. Тем самым в математику было введено понятие иррациональности.
решение задачи по вычислению площади круга тоже можно найти на глиняных табличках. Согласно этим данным π принималось равным 3.
Так, важным достижением математики было открытие того, что отношение диагонали и стороны квадрата не может быть выражено целым числом. Тем самым в математику было введено понятие иррациональности.
решение задачи по вычислению площади круга тоже можно найти на глиняных табличках. Согласно этим данным π принималось равным 3.
на фото Табличка с вычислениями диаметра окружности из царской библиотеки Ашшурбанипала. 17 в. до н.э. Частная коллекция
«
3
Древний Рим
- Происхождение римской системы дробей.
- Какие остатки этой системы сохранились в устной речи до наших дней
- В какой стране до сих пор пользуются в системе мер и в денежной системе остатками римской системы дробей
Первые упоминания о римской системе счисления относятся к 500 годам до н. э. Римские цифры появились, в качестве оригинальной счетной системы, для подсчета животных, урожая, денег, записи номеров, наименование указателей, дат. Первоначально эти подсчеты проводились с помощью рук.
Каждый палец превратился в цифру «I», т.е. «единицу». Каждый последующий палец стал еще одной цифрой «I», т.е. II = 2. После использования четырёх пальцев до 4-х, большой палец был вытянут — это стало V. Двумя руками то же самое можно сделать для чисел с 5 по 10, при этом 10 станет X. При необходимости вычитания V может стать IV (вместо IIII), или VI при сложении, 9 (IX) и так далее.
Другие буквы в римской системе счисления были получены из более ранних этрусских или греческих символов — это L, C, D и M.
Каждый палец превратился в цифру «I», т.е. «единицу». Каждый последующий палец стал еще одной цифрой «I», т.е. II = 2. После использования четырёх пальцев до 4-х, большой палец был вытянут — это стало V. Двумя руками то же самое можно сделать для чисел с 5 по 10, при этом 10 станет X. При необходимости вычитания V может стать IV (вместо IIII), или VI при сложении, 9 (IX) и так далее.
Другие буквы в римской системе счисления были получены из более ранних этрусских или греческих символов — это L, C, D и M.
»
Происхождение римской системы дробей
Дробей римляне избегали так же упорно, как и больших чисел. В практических задачах, связанных с измерениями, они не использовали дроби, подразделяя основную денежную единицы и единицу измерения массы "асс". Асс делился на 12 равных частей – унций. Со временем унции стали применять для измерения любых величин.
Минуции — римские двенадцатеричные дроби. Первоначально они составляли метрологическую систему, состоящую из подразделений медной монеты асс весом около фунта. Асс подразделялся на 12 унций, унция на 2 семунции, на 4 сициликуса, на 6 секстул, на 12 димидий секстул (полусекстул) и на 24 скрупула. У каждой из величин также был и особенный знак. подробную информацию можно посмотреть в этих таблицах:
Минуции имеют очень важное значение в истории развития счисления дробей, так как представляют единственный известный случай применения метрологической системы к счислению абстрактных дробей.
Доказательством этого применения служат встречающиеся у римских писателей (у Цицерона, Кокумеллы, Ливия, Фронтина) многочисленные примеры безразличного употребления минуций в вычислениях, имеющих дело с самыми разнообразными именованными числами.
«
Наследие римской системы в устной речи
Из римской системы единиц измерений весь мир позаимствовал множество различных терминов, которые используются до сих пор
От римских слов " minuta secunda", "hora", "dies et nox", "saeculum" берут свое начало известные нам секунда, минута, час, сутки, век
Из римской геометрии мы позаимствовал градус, образованный от слова "gradus"
Почти без изменения достались нам такие единицы длины, как миля ("mille passus"),
локоть ("cubitus"), фут ("pes")
От римских слов " minuta secunda", "hora", "dies et nox", "saeculum" берут свое начало известные нам секунда, минута, час, сутки, век
Из римской геометрии мы позаимствовал градус, образованный от слова "gradus"
Почти без изменения достались нам такие единицы длины, как миля ("mille passus"),
локоть ("cubitus"), фут ("pes")
все эти слова встречаются в пословицах и поговорках:
Семь футов под килем!
Узнать, почём фунт лиха
Близок локоть, да не укусишь
Две мили и гук
Чтобы время победить, надо секунды ценить.
Сломить дерево — секунда, а вырастить — года.
Узнать, почём фунт лиха
Близок локоть, да не укусишь
Две мили и гук
Чтобы время победить, надо секунды ценить.
Сломить дерево — секунда, а вырастить — года.
от дроби скрупулус происходит слово "скрупулезно". Оно значит чаще всего внимательный, сосредоточенный. Если что-то идет не по плану или не становится на места - нервный, расстроенный. Если все в порядке, а работа выполнена удачно - счастливый, спокойный, довольный собой.
Юнона Монета (от лат. moneta — советница, наставница, от лат. moneo, monere — предупреждать) — одно из имен богини Юноны в римской мифологии. От Монеты произошли современные термины «монета» «монетный двор» и англ. money (деньги).
Юнона Монета (от лат. moneta — советница, наставница, от лат. moneo, monere — предупреждать) — одно из имен богини Юноны в римской мифологии. От Монеты произошли современные термины «монета» «монетный двор» и англ. money (деньги).
Древние римляне испытывали больше трудности при делении на сто, потому что их дроби не предусматривали знаменатели кратные десяти. Из-за этого римляне начали применять проценты. Так, слово "процент" образовано от латинского "про центум", что означает "на сто".
Единицу массы унцию можно заметить и в художественной литературе. Там это слово становится частью крылатых выражений и знаменитых фраз:
"Справедливость требует прибавить в придачу к этому наследству одну, разрозненную с подругою, серебряную шпору, вальтрап с померкшими звездами, разного сомнительного металла галуны, из выжиги которых несомненно можно было извлечь унции две меди."
Лажечников И. И., Внучка панцирного боярина, 1868
"— Видно, ошибся одною унциею: что ж делать? И не на нас бывает такая беда, что одною лишнею унцией, или недостатком унции, убивают и оживляют."
Лажечников И. И., Последний Новик. Том 1, 1833
Лажечников И. И., Внучка панцирного боярина, 1868
"— Видно, ошибся одною унциею: что ж делать? И не на нас бывает такая беда, что одною лишнею унцией, или недостатком унции, убивают и оживляют."
Лажечников И. И., Последний Новик. Том 1, 1833
"— Да-с, подобротнее-с! Чебоксарская подоплека не дерет глотки, а постоит за себя! Да-с, постоит-с! Мы, чебоксарцы, не анализируем своих чувств, не взвешиваем своих побуждений по гранам и унциям! Мы просто идем в огонь и в воду — и всё тут! И нас не отберут, как каких-нибудь эльзасцев-с! Нет-с, обожгутся-с!"
Грибоедов А. С., Кто брат, кто сестра, или Обман за обманом, 1823
"Рославлев-старший. А драхмы, унции и их дроби?"
Также я заметил, что слова "унция" и "унифицированный" скорее всего имеют один и тот же корень. Это подтверждаемся и значениями этих слов:
унифицированный - приведённый к единому, общепринятому виду
В конструкции велосипеда предусмотрены унифицированные узлы и детали, передняя и задняя втулки колёс, рулевая колонка, каретка с педалями и др
унификация - приведение к единообразной системе или форме.
Принципы технической унификации, направленной в первую очередь на устранение излишнего многообразия изделий, их составных частей и процессов изготовления, используются не только в сфере производства, но и в других областях деятельности.
унифицированный - приведённый к единому, общепринятому виду
В конструкции велосипеда предусмотрены унифицированные узлы и детали, передняя и задняя втулки колёс, рулевая колонка, каретка с педалями и др
унификация - приведение к единообразной системе или форме.
Принципы технической унификации, направленной в первую очередь на устранение излишнего многообразия изделий, их составных частей и процессов изготовления, используются не только в сфере производства, но и в других областях деятельности.
»
Наследие системы в современных странах
Двенадцатеричная система встречается в английской («имперской») и американской системах мер, которые используются до сих пор. Английские монеты также до 1968 года были основаны на ней. До 1971 года соотношения между монетами были такие:
В других таблицах "имперской" системы можно найти такие единицы
Меры объема длины
1 фут (foot) = 3 хэндам = 12 дюймам = 0,3048 м
1 дюйм (inch) = 12 линиям = 72 точкам = 1000 милам = 2,54 см
Меры объема жидкости
1 Валтасар (Balthazar) = 16 бутылкам = 12 литрам
1 Салманасар (Salmanazar) = большой винной бутылке = 12 бутылкам = 9 литрам
1 фут (foot) = 3 хэндам = 12 дюймам = 0,3048 м
1 дюйм (inch) = 12 линиям = 72 точкам = 1000 милам = 2,54 см
Меры объема жидкости
1 Валтасар (Balthazar) = 16 бутылкам = 12 литрам
1 Салманасар (Salmanazar) = большой винной бутылке = 12 бутылкам = 9 литрам
Широкое наследство оставила после себя римская унция. Ее широкое распространение привело к возникновению множества различных разновидностей:
тройская унция - мера веса драгоценных металлов. Термин происходит из тройской весовой системы, которая широко использовалась в Европе вплоть до введения метрической системы мер.
жидкая унция - Жидкая унция — единица объёма, обычно используемая для измерения жидкостей. В разное время использовались различные определения жидкой унции. В наше время широко используются лишь два из них — британская имперская унция и жидкая унция США.
аптекарская унция - устаревший термин. Во многих странах, кроме гражданской или коммерческой системы веса, аптекарями для взвешивания лекарственных веществ использовался аптекарский вес. Стандарты аптекарского веса варьировали в разных странах. Унция была основной единицей аптекарского веса и её масса в разных городах и странах колебалась от 25 до 35 граммов.
унция авердюпуа - в США и ряде других стран является 1/16 от основной единицы массы — фунта авердюпуа
Исторически, в разных частях света, в разные моменты времени и для разных применений унцией назывались близкие, но все же немного различающиеся стандарты массы:
тройская унция - мера веса драгоценных металлов. Термин происходит из тройской весовой системы, которая широко использовалась в Европе вплоть до введения метрической системы мер.
жидкая унция - Жидкая унция — единица объёма, обычно используемая для измерения жидкостей. В разное время использовались различные определения жидкой унции. В наше время широко используются лишь два из них — британская имперская унция и жидкая унция США.
аптекарская унция - устаревший термин. Во многих странах, кроме гражданской или коммерческой системы веса, аптекарями для взвешивания лекарственных веществ использовался аптекарский вес. Стандарты аптекарского веса варьировали в разных странах. Унция была основной единицей аптекарского веса и её масса в разных городах и странах колебалась от 25 до 35 граммов.
унция авердюпуа - в США и ряде других стран является 1/16 от основной единицы массы — фунта авердюпуа
Исторически, в разных частях света, в разные моменты времени и для разных применений унцией назывались близкие, но все же немного различающиеся стандарты массы:
Но стоит отметить, что в целом римские цифры применялись и применяются во многих странах на протяжении долгой истории нашей цивилизации:
- Римские цифры широко употреблялись в СССР при указании даты для обозначения месяца года, например: 11/III-85 или 9.XI.89, это можно увидеть на многих архивных документах тех времён. Подобным образом, через косую черту, в том числе записывали дату урока в классных журналах , например: 24/II.
- Для указания дат жизни и смерти на надгробиях часто используется особый формат, где месяц года также обозначается римскими цифрами.
- В западных странах римскими цифрами нередко записывается номер года, например, на фронтонах зданий и в титрах кино-видеопродукции.
- В Голландии римскими цифрами иногда обозначают этажи. А в Италии ими отмечают 100-метровые отрезки пути.
- В современной Литве на дорожных знаках, на витринах магазинов , на вывесках предприятий римскими цифрами могут обозначаться дни недели.
В русском языке римские единицы длины и цифры используют в следующих случаях:
1. Номер века или тысячелетия: XIX век, II тысячелетие до н. э.
2. Спряжение глаголов.
3. Маркировка циферблатов часов «под старину».
4. Номер тома в многотомной книге или тома журналов (иногда — номера частей книги, разделов или глав).
5. В музыкальной грамоте.
6. Порядковый номер монарха.
7. Группа крови на нашивках формы военнослужащих ВС РФ.
8. На советских судах обозначали осадку в метрах римскими буквами (на английских кораблях — в футах римскими буквами).
9. В авиации при определении высоты полета
10. В некоторых изданиях — номера листов с предисловием к книге, чтобы не исправлять ссылки внутри основного текста при изменении предисловия.
11. Иные важные события или пункты списка, например: V постулат Евклида, II мировая война, XX съезд КПСС, Игры XXII Олимпиады и тому подобное.
12. Валентность химических элементов.
13. Номер корпуса в вооружённых силах.
14. Год окончания постройки здания на его фронтоне.
15. Порядковый номер ступени в звукоряде.
16. В математическом анализе римскими цифрами записывают номер производной
2. Спряжение глаголов.
3. Маркировка циферблатов часов «под старину».
4. Номер тома в многотомной книге или тома журналов (иногда — номера частей книги, разделов или глав).
5. В музыкальной грамоте.
6. Порядковый номер монарха.
7. Группа крови на нашивках формы военнослужащих ВС РФ.
8. На советских судах обозначали осадку в метрах римскими буквами (на английских кораблях — в футах римскими буквами).
9. В авиации при определении высоты полета
10. В некоторых изданиях — номера листов с предисловием к книге, чтобы не исправлять ссылки внутри основного текста при изменении предисловия.
11. Иные важные события или пункты списка, например: V постулат Евклида, II мировая война, XX съезд КПСС, Игры XXII Олимпиады и тому подобное.
12. Валентность химических элементов.
13. Номер корпуса в вооружённых силах.
14. Год окончания постройки здания на его фронтоне.
15. Порядковый номер ступени в звукоряде.
16. В математическом анализе римскими цифрами записывают номер производной
«
4
Наиболее развитая система
Главный плюс вавилонской системы в том, что для записи чисел они использовали минимальное количество знаков. По этому критерию римская система очень плоха для записи, прочтения или вычисления чисел, ведь для всего этого они использовали буквы своего алфавита. В итоге четырёхзначное число, к примеру, 2737 содержало целых 11 букв: MMDCCXXXVII, что непозволительно много
Для того чтобы производить вычисления по Римской системе счисления вам понадобятся счеты и очень много времени. Также эта модель несовместима с двоичной системой исчисления, использующаяся на компьютерах. В римской системе не существовало понятия нуля, который был введен только с появлением арабских/индийских цифр.
Поэтому, вавилонская математика стояла выше позднейших греческой или римской, так как именно ей принадлежал принцип позиционности, согласно которому значение одного и того же знака зависит от его положения.
К слову, египетская система счисления тоже уступала вавилонской. Для малых чисел вавилонская система напоминала египетскую. Египтяне пользовались непозиционной десятичной системой, в которой числа от 1 до 9 обозначались соответствующим числом вертикальных чёрточек, а для последовательных степеней числа 10 вводились индивидуальные иероглифические символы.
На первый взгляд кажется, что египетские дроби легче сравнивать друг с другом, но не стоит забывать, что перед этим и действиями обычные дроби нужно переводить в египетский вид. Возможно, такой способ сравнения был удобен только лишь для египтян.
Конечно, в современном мире мы не пользуемся египетскими дробями. Еще Фибоначчи показал, что это неудобно, с чем мы спорить не будем.
Для того чтобы производить вычисления по Римской системе счисления вам понадобятся счеты и очень много времени. Также эта модель несовместима с двоичной системой исчисления, использующаяся на компьютерах. В римской системе не существовало понятия нуля, который был введен только с появлением арабских/индийских цифр.
Поэтому, вавилонская математика стояла выше позднейших греческой или римской, так как именно ей принадлежал принцип позиционности, согласно которому значение одного и того же знака зависит от его положения.
К слову, египетская система счисления тоже уступала вавилонской. Для малых чисел вавилонская система напоминала египетскую. Египтяне пользовались непозиционной десятичной системой, в которой числа от 1 до 9 обозначались соответствующим числом вертикальных чёрточек, а для последовательных степеней числа 10 вводились индивидуальные иероглифические символы.
На первый взгляд кажется, что египетские дроби легче сравнивать друг с другом, но не стоит забывать, что перед этим и действиями обычные дроби нужно переводить в египетский вид. Возможно, такой способ сравнения был удобен только лишь для египтян.
Конечно, в современном мире мы не пользуемся египетскими дробями. Еще Фибоначчи показал, что это неудобно, с чем мы спорить не будем.
Таким образом, я считаю, что самой развитой была вавилонская система счисления. Она опережала на многие века системы счисления других стран.
»
Спасибо за внимание!
© All Rights Reserved. Acme Design Co.
hello@mysite.com
hello@mysite.com
